Fasores

1. Definição

Fasores, são na realidade vetores que giram em uma determinada velocidade em um círculo trigonométrico, dando origem as funções senoidais. Então toda função senoidal pode ser representada por um fasor. Os fasores possuem muitas aplicações em sistemas de potências.

2. Por que usar fasores?

A notação fasorial simplifica a resolução de problemas envolvendo funções senoidais no
tempo.

3. Quem inventou fasores?

O uso de números complexos para resolver problemas em circuitos de corrente alternada foi apresentado pela primeira vez por Charles Proteus Steinmetz em um artigo de 1893. Ele nasceu em Breslau, na Alemanha, filho de um ferroviário. Tornou-se um gênio da ciência apesar de ser um deficiente físico de nascença e ter perdido a mãe com apenas 1 ano de idade. Assim com seu trabalho sobre as leis da histerese atraíram a atenção da comunidade científica, suas atividades políticas na Universidade de Breslau atraíram a polícia política. Foi forçado a fugir da Alemanha sem conseguir concluir seu trabalho de doutorado. Trabalhou em inúmeras pesquisas nos Estados Unidos, principalmente na General Electric Company. A GE havia sido fundada por Thomas Edison que a dirigiu entre 1876 a 1892. O período de 1892 a 1923 ficou conhecido como sendo a Era Steinmetz, por razões óbvias. Seu “paper” sobre números complexos revolucionou a análise de circuitos AC apesar de terem dito (naquela época) que ninguém, exceto Steinmetz, entendia o método.

4. Representação Fasorial

A representação fasorial é simples, apesar de se basear na teoria dos números complexos. Lembre-se que toda função senoidal pode ser escrita por:

v(t) = Vmáx*sen(wt + fi)

Quando colocamos esta função em um círculo trigonométrico, e a fazemos girar com uma velocidade angular w, temos a função senoidal originada. Observe a figura 1. 

figura 1. Representação de uma senóide em fasores.

A representação de um fasor no plano complexo é muito simples, basta transladarmos o fasor do circulo trigonométrico para o plano complexo, atentos à fase inicial do fasor. Observe a figura 2.

figura 2. Representação de um fasor em um plano complexo.

No plano complexo o fasor pode ser representado por um número complexo Z, que possui uma parte Real a, e uma parte imaginária b. Podemos também representá-lo através de seu  módulo  (tamanho  do  fasor)  e  seu  ângulo  (fase  do  fasor).  Esta  duas  formas  de representação  dão  origem  as  formas  retangular  e  polar  de  se  representar  um  número complexo discriminadas a seguir.

4.1 Representação Retangular

Na forma retangular o número complexo (nosso fasor) é representado a seguinte forma:

Z = {parte real} + j {parte imaginária} (Isto vem da relação de Euler, pesquisem).

Observe que o termo j representa na teoria dos números complexos a raiz de −1, porém em nosso estudo, somente será utilizado para identificar a parte imaginária de uma notação fasorial.

4.2 Representação Polar

Na forma polar o número complexo (nosso fasor) é representado da seguinte forma:
Z = ∣Z∣    |_ fi

Onde ∣Z∣ representa o módulo do número complexo, ou seja, o comprimento do fasor, e
  |_ fi  representa a fase inicial do fase.

Um  número  complexo  Z  qualquer,  pode  ser  representado  tanto  em  sua  forma retangular, como em sua forma polar, e a transformação de uma forma para outra não passa de uma simples transformação trigonométrica. Observe na figura 2 novamente.

O nosso número complexo Z pode ser representado pela sua forma polar, sendo então:
Z=∣Z∣  |_ fi


Observe que a (parte Real) e b (parte Imaginária) são os catetos de um triângulo retângulo  e  Z  (módulo  do  fasor)  a  hipotenusa.  Sendo  assim,  aplicando  um  pouco  de trigonometria, teremos:

A parte Real a do número complexo como sendo a projeção horizontal do fasor, dada
por:

a=∣Z∣cosfi

Já a parte Imaginária b pode ser calculada como sendo a projeção vertical do fasor, dada
por:

b=∣Z∣senfi

Podemos  também  fazer  o  contrário,  aplicando  o  Teorema  de  Pitágoras,  podemos calcular o módulo Z do número complexo, ou fasor, conhecendo suas partes Real e Imaginária.
Então:

Z=sqrt(a^2+b^2)

Já a fase fi pode ser obtida através da função trigonométrica tangente, pois:

arctgfi=b/a